การเรียงลำดับ

C {\displaystyle \mathbb {C} } ไม่เป็นฟีลด์อันดับ กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย

ปริภูมิเวกเตอร์

อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น C {\displaystyle \mathbb {C} } เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน R {\displaystyle \mathbb {R} } เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน R {\displaystyle \mathbb {R} } ( R {\displaystyle \mathbb {R} } -linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป

f ( z ) = a z + b z ¯ {\displaystyle f(z)=az+b{\bar {z}}}

เมื่อ a {\displaystyle a} และ b {\displaystyle b} เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน f 1 ( z ) = a ( z ) {\displaystyle f_{1}(z)=a(z)} เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน f 2 ( z ) = b z ¯ {\displaystyle f_{2}(z)=b{\bar {z}}} นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า f 1 {\displaystyle f_{1}} เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน C {\displaystyle \mathbb {C} } และเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของ f 2 {\displaystyle f_{2}} ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์

สมบัติเชิงพีชคณิต

C {\displaystyle \mathbb {C} } (หรือฟีลด์อื่นที่สมสัณฐานกับ C {\displaystyle C} ) จะมีลักษณะจำเพาะสามประการ ดังนี้

• มีแคแรกเทอริสติก 0
• มีดีกรีอดิศัยเมื่อเทียบกับฟีลด์เฉพาะใด ๆ เท่ากับขนาดของเซตจำนวนจริง
• มีสมบัติการปิดเชิงพีชคณิต (ดู ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต)

ด้วยเหตุนี้ C {\displaystyle \mathbb {C} } จึงมีฟีลด์ย่อยแท้ที่สมสัณฐานกับตัวมันเองอยู่เป็นจำนวนมาก นอกจากนี้กาลอยด์กรุปของ C {\displaystyle \mathbb {C} } บนเซตของจำนวนตรรกยะมีขนาดเท่ากับเซตกำลังของเซตของจำนวนจริง